【統計学】平均・中央値・最頻値について ~基本統計量 その1

 

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まずデータをグラフ化し、異常値などのおかしい点がないかざっくり確認したら次は基本統計量を求めていきます。

 

基本統計量」とは「集団(データ)全体を調べて、特徴・傾向を把握する手法」です。全体を俯瞰し、大まかな形を掴むために最適な解析手法です。

 

「基本統計量」は、大きく代表値と散布度の2つに分けられます。「代表値」は、平均や中央値といった「データの真ん中」を数値で表したもので、散布度は分散・標準偏差といった「データがどれだけばらついているか」を表したものです。

 

今回は代表値について説明していきます。

 

※ちなみに分散と標準偏差については↓で説明してます。

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・平均 (mean, average)

平均とは観測値の総和を観測個数で割った数値です。学校のテストでも平均点とかありますし、これは特に統計に詳しくなくても知ってるやつですね。

 

一応統計学において平均は下のような式で定義されています。

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このように統計学において、xの平均値を表す時は、xの上に横バー( ̄)を書きます。

簡単な例でいくと、あるテストの結果が{2,10,5,5,7}であるとき、この平均点(平均値)は、(2 + 10 + 5 + 5 + 7)÷5 = 5.8 となります。平均はデータの分布のおける重心のようなものです。

 

・中央値 (メディアン, median)

 メディアンとは、データを小さい順に並べ替えたときの「真ん中」の値のことを表します。データ数が奇数の場合は小さい順に並べ替えたときの真ん中の値となり、これがxにおける中央値(メディアン)となります。

 

データ数が偶数の場合は、下例の場合真中の値 は 4 と 6 になるので、この2つの平均値がメディアンとなります。

 

中央値(メディアン)とは、分布の面積をちょうど2等分する点と言えます。

 

データ数が奇数の場合:ⅹ(1,3,3,4,5,7,9)→メディアン:4

データ数が偶数の場合: x (2,2,4,6,7,9)→メディアン:(4+6)/2=5

 

・最頻値(モード, mode) 

 「モード」とは最も頻繁に現れた値を指し、データ (2,5,5,5,7,9,10)  では 5 が 3 回現れているのでこれが最頻値(モード)となります。最頻値(モード)は、データをヒストグラムで表したときに1番高いところと対応しています。

 

・まとめ

これまで紹介してきた 平均・メディアン・モード は、データの中心的傾向を表す代表値ですが、各々が表すものは同じではないため、分布によっては値が大きく異なることがあります。理論上、左右対称な分布の場合は3つとも同じ値をとります。

 

しかし、世帯別年収のような左右どちらかに大きく歪んでいる分布の時は、3つの値が異なったものとなります。実際のデータの代表値を解釈する場合にも、 このような点に注意していく必要があります。

 

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